domingo, 11 de marzo de 2012

Diagonales de un polígono

Hoy vamos a calcular
el número de diagonales
que de los vértices salen
de un polígono regular.[1]

Para generalizar,
nuestros polígonos dados
han de tener n lados
para empezar a pensar.

Para una diagonal hacer
uno un vértice con los demás,
salvo los que al lado están
y por supuesto sin él.

Con lo que desde ese punto
ene menos tres líneas puedo [n-3]
proyectar sin ningún miedo
e ir resolviendo el asunto.

Acabas de comprobar
que ene menos tres tengo
solo para uno haciendo.
Debo añadir las demás.

Esto equivale a poner
en nuestro papel en blanco
este producto algebraico:
ene por él menos tres.  [n(n-3)]


Mas la diagonal es línea
que no tiene orientación,
concepto que en un vector
sentido se denomina.

Con lo que estoy duplicando
diagonales por doquier
si dejo sin resolver
la expresión que antes he hallado.

¿Cómo evito un duplicado?
Evidente solución:
Divido todo por dos
y asunto solucionado.   [n(n-3)/2]

Para el que tenga memoria
y haya estudiado antaño,
¡allá, hace muchos años!
teoría combinatoria,

también puede resolver
el problema que planteamos
pues de dos en dos combinamos
los vértices que nos den.

La pareja de contiguos,
los lados que ya tenemos,
ya solo restar debemos
a todos los obtenidos. [Cn,2-n]   

 
José M. Ramos. Pontevedra, 31 diciembre 2011
[1] Extensible a los irregulares convexos.